Answer 1

Чтобы удалить системный, можете воспользоваться конструктором, включаем конструктор - http://www.ucoz.ru/qa/index.php/70617 после удаляем блок календарь.

Новый календарь или виджет по своему подобию как вы его видите вы в Юкоз создать не сможете так как нет системного на то функционала, что собрать и сгенерировать свой виджет. Только заказать разработку у фрилансеров - https://upartner.pro/

В сети не советовал бы искать сторонние скрипты так как 90% скриптов с вирусами и сторонней рекламой.

А вообще, зачем календарь на сайт если это дополнительное дублирование, у вас в комнате на стене он есть и на компьютере, зачем еще один на сайте, это просто дополнительная трата места в контейнере которую мог бы занять другой блок. Конечно вам решать, как будет лучше.